Cálculo Diferencial
Funcion real de variable real
Universidad Técnica de Machala
2025-07-06
Correspondencia entre conjuntos
Si \("A"\) y \("B"\) son conjuntos cualesquiera, se llama correspondencia de \(A\) en \(B\) a todo criterio o ley que asocia elementos de \("A"\) con elementos de \("B"\).
Si el nombre del criterio es \("f"\), para expresar que \("f"\) es una correspondencia de \("A"\) en \("B"\) escibimos \(f:A\longrightarrow B\).
De \("A"\) se dice que es el conjunto inicial de \("f"\) de \("B"\) se dice es el conjunto final de \("f"\)
Observaciones:
En el conjunto inicial “A” puede haber elementos (177) a los que “f” no les asocia nungún elemento de “B”.
En el conjunto inicial “A” puede haber elementos (Pato) a los que “f” les asocie varios elemento de “B”.
En el conjunto final “B” puede haber elementos (5 y Luna) que no corresponden a ningún elemento de “A”.
En el conjunto final “B” puede haber elementos (Mesa) que corresponden a varios elementos de “A”.
Que quede clarito: en la definición de correspondecia no se impone ninguna restricción o traba al criterio \("f"\) que asocia elementos de \("A"\) con elementos \("B"\); por tanto queda definida una correspondencia de \("A"\) en \("B"\) en el mismo instante en que se establece un criterio o ley que asocie elemnetos de \("A"\) con elementos de \("B"\), aunque ese criterio sea muy absurdo o chiripitíflautico.
Correspondencia de conjuntos
Si \(x \in A\) para referirnos al elemento de \("B"\) que \("f"\) asocia a \("x"\), usaremos la notación \("f(x)"\), que los profesionales leen efe de x, pero tú debes leer imagen de x según f.
Aviso navegantes:
¡Están condenados al fracaso los principiantes que se empecinen en leer como profesionales!, pues tras la notación \(f(x)\) hay 5 protagonistas, y el cerebro debe estar simultáneamente pendiente de todos ellos:
El conjunto \("A"\), que es protagonista invisible, pues \("A"\) no parece por ningún lado en la notación \("f(x)"\) … ¡pero está!.
El conjunto \("B"\), también invisible
La ley \("f"\) que asocia elementos de \("A"\) con elementos de \("B"\); es protagonista visible, pues en la notación \("f(x)"\) hay una \("f"\).
El elemento \("x"\) del conjunto \("A"\); también es visible, pues en la notación \("f(x)"\) hay una \("x"\).
El 5° protagonista es un elemento de \("B"\), pero no un elemento de cualquiera de \("B"\), el 5° protagonista es el elemento de \("B"\) que la ley \("f"\) asocia a \("x"\), y para denotarlo nadie ha inventado una notación más clara y concisa que \("f(x)"\), introducida por Euler en 1734.
Función real de variable real
¿No es fascinante cómo una función real de variable real puede describir el comportamiento de tantas situaciones en el mundo real, conectando conceptos abstractos con la realidad tangible?
Dirichlet,1854
Llamamos función real de variable real a toda correspondencia \(f: \mathfrak{R} \longrightarrow \mathfrak{R}\); o sea, una función real de variable real es una ley o criterio \(f\) que asocia números reales con números reales.
Se dice que \(f: \mathfrak{R} \longrightarrow \mathfrak{R}\) es una función real porque su conjunto final es \(\mathfrak{R}\) se dice que \(f\) es de variable real porque su conjunto inicial es \(\mathfrak{R}\)
Para expresar que el número real \(x \in \mathfrak{R}_{inicial}\) puede ser el que queramos, se dice que \(x\) es una variable independiente; y para expresar que el número real \(f(x) \in \mathfrak{R}_{final}\) que \(f\) asocia a \(x\) escapa por completo a nuestro control, pues es \(f\) quien decide el valor de \(f(x)\), se dice que el número real que denotamos \("f(x)"\) es una variable dependiente.
Ejemplos
Por ejemplo, al hablar de la función \(f:\mathfrak{R} \longrightarrow \mathfrak{R}\) tal que \(f(x)=\frac{x}{x-1}\) se habla de la ley \("f"\) que al número real \("x"\) le asocia el número real \(\frac{x}{x-1}\); así, al número \(5\) la ley \("f"\) le asocia el número \(\frac{5}{5-1}\) , al número \(9\) le asocia el número \(\frac{5}{5-1}\)….. y escribemos:
\[ f(5)=\frac{5}{5-1}=\frac{5}{4}\quad ;\quad f(9)=\frac{9}{9-1}=\frac{9}{8} \]
Análogamente:
\[ \color{red}{f(x)=\frac{x}{x-1}} \]
Si evaluamos: \(x = 3 + h\)
\[ f(3+h) = \frac{3+h}{(3+h)-1} = \frac{3+h}{2+h} \]
Si evaluamos: \(x = 2 - h\)
\[ f(2-h) = \frac{2-h}{(2-h)-1} = \frac{2-h}{1-h} \]
Si, operamos la siguiente expresion: Diferencia de cociente
\[ \color{red}{\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}} \]
Queremos calcular:
\[ \color{red}{\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}}= \frac{\frac{6+h}{(6+h)-1} - \frac{6}{6-1}}{h} = -\frac{1}{5(5+h)} \]
Determine la siguiente expresion \(\color{red}{\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}}\) en los siguientes casos: \(a. \quad f(x)=x^2 \quad; b. \quad f(x)=\frac{1}{x} \quad;c. \quad f(x)= 2^x\)
\[ \frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}=\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{2xh+h^2}{h}= 2x+h \]
\(\color{blue}{\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}}\) es la Tasa de cambio de la funcion \("f"\) si la variable independiente \(\color{blue}{varia}\) desde “x” hasta “x+h”
Determine la siguiente expresion \(\color{red}{\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}}\) en los siguientes casos: \(a. \quad f(x)=x^2 \quad; b. \quad f(x)=\frac{1}{x} \quad;c. \quad f(x)= 2^x\)
\[ \frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}=\frac{\frac{1}{(x+h)}-\frac{1}{x}}{h}=\frac{-h}{hx(h+x)}= \frac{-1}{x(x+h)} \]
\(\color{blue}{\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}}\) es la Tasa de cambio de la funcion \("f"\) si la variable independiente \(\color{blue}{varia}\) desde “x” hasta “x+h”
Determine la siguiente expresion \(\color{red}{\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}}\) en los siguientes casos: \(a. \quad f(x)=x^2 \quad; b. \quad f(x)=\frac{1}{x} \quad;c. \quad f(x)= 2^x\)
\[ \frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}=\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{2xh+h^2}{h}= 2x+h \]
\(\color{blue}{\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}}\) es la Tasa de cambio de la funcion \("f"\) si la variable independiente \(\color{blue}{varia}\) desde “x” hasta “x+h”
Determine la siguiente expresion \(\color{red}{\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}}\) en los siguientes casos: \(a. \quad f(x)=x^2 \quad; b. \quad f(x)=\frac{1}{x} \quad;c. \quad f(x)= 2^x\)
\[ \frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}=\frac{2^{x+h}-2^x}{h} \]
\(\color{blue}{\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}}\) es la Tasa de cambio de la funcion \("f"\) si la variable independiente \(\color{blue}{varia}\) desde “x” hasta “x+h”
LA PREGUNTA DEL MILLÓN, ¿Para que sirve la tasa de cambio?![]()
El cociente \(\color{blue}{\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}}\), que es la TASA DE CAMBIO de la funcion \(f: \mathfrak{R} \longmapsto \mathfrak{R}\) si la vararible independiente varia desde x hasta x+h, tendra protagonismo estalar cuando hablemos de la derivada de f en x
UTILIDAD DE LA FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL
Comprenderás la importancia de las funciones reales de variable real si imaginas que la variable independiente “x” representa la cantidad de capital invertido por una bodega, mientras que la variable dependiente \(f(x)\) representa la producción de vino obtenida.
\[ \overset{\large x}{\text{Capital}} \quad \longrightarrow \quad \overset{\large f(x)}{\text{Producción}} \]
Si invierto “x” euros, la producción de vino es \(1 + x^2\) litros. Es decir, mi función \(f\) de producción está definida por:
\(f(x) = 1 + x^2\)
Fijando ideas-problema parte 1 (capital-produccion)
Si el capital empleado varia desde “x” hasta “x+h”, la produccion obtenida varia desde \(f(x)=1=x^2\) hasta \(f(x+h)=1+(x+h)^2\). La pregunta seria? Cuantas unidades varia la produccion por cada unidad de varaicion de capital?
\[ \begin{array}{llll} \left\{ \begin{array}{l} \text{Tasa de cambio de "f" si v.i} \\ \text{varía desde "x" hasta "x+h"} \end{array} \right\} \equiv \frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x} \\ \equiv \frac{ \text{Variación de producción si el capital varía desde "x" a "x+h"} }{ \text{Variación de capital} } \equiv \\ \left\{ \begin{array}{l} \text{Variación MEDIA de producción por cada unidad} \\ \text{de variación de capital cuando este varía desde "x" a "x+h"} \end{array} \right\} \\ = \frac{(1+(x+h)^2)-(1+x^2)}{h}= \frac{2xh+h^2}{h} = 2x + h \end{array} \]
Fijando ideas-problema parte 1 (tiempo-velocidad)
Si el tiempo varia desde “x” hasta “x+h”, la velocidad obtenida varia desde \(f(x)=1+x^3\) hasta \(f(x+h)=1+(x+h)^3\). La pregunta seria? Cuantas unidades varia la velocidad por cada unidad de variacion de tiempo?
\[ \begin{array}{llll} \left\{ \begin{array}{l} \text{Tasa de cambio de "f" si v.i} \\ \text{varía desde "x" hasta "x+h"} \end{array} \right\} \equiv \frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x} \\ \equiv \frac{ \text{Variación de velocidad entre el instante "x" y el "x+h"} }{ \text{Variación de tiempo} } \equiv \\ \left\{ \begin{array}{l} \text{Variación MEDIA de velocidad por cada unidad} \\ \text{de variación de tiempo cuando este varía desde "x" a "x+h"} \end{array} \right\} \\ = \frac{(1+(x+h)^3)-(1+x^3)}{h}= \frac{3x^2h+3xh^2+h^3}{h} = 3x^2 + 3xh + h^2 \end{array} \]
Aceleracion media entre el instante “x” y el instante “x+h”
LA GRAFICA DE UNA FUNCION
El cociente \(\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}\)
El cociente \(\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}\), que es la TASA DE CAMBIO de la funcion \(f: \mathfrak{R}\longmapsto \mathfrak{R}\) si la variable independiente varia desde “x” hasta “x+h”, indica cuantas unidades varia la variable dependiente por cada unidad de variacion de la variable independiente.
si \(f(x) =x^2\),es:
\[ \begin{array}{ll} TC & =\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}=\frac{(x+h)^2-x^2}{h}\\ &=\frac{2xh+h^2}{h}= 2.x+h \equiv tg(\theta) \end{array} \]
OTRAS NOTACIONES DE FUNCIONES
A veces, trabajando con una función \(f: \mathfrak{R} \longrightarrow \mathfrak{R}\), para abreviar, se denota “y” al número real \(f(x)\) que “f” asocia a “x”.
Por ejemplo, en vez de escribir: \[ f(x) = 3x - 1 \quad ; \quad f(x) = x \ln(x) \quad ; \quad f(x) = \sin(x^2) \] se escribe: \[ y = 3x - 1 \quad ; \quad y = x \ln(x) \quad ; \quad y = \sin(x^2) \]
Esta notación no es recomendable para los principiantes, porque con ella es más fácil que se les despiste lo esencial. Y lo esencial ahora es asimilar que tras “f(x)” hay cinco protagonistas: el conjunto \(\mathfrak{R}_{\text{inicial}}\), el \(\mathfrak{R}_{\text{final}}\), la correspondencia \("f"\) que asocia elementos de \(\mathfrak{R}_{\text{inicial}}\) con elementos de \(\mathfrak{R}_{\text{final}}\), el número \(x \in \mathfrak{R}_{\text{inicial}}\), y el número \(f(x) \in \mathfrak{R}_{\text{final}}\) que “f” asocia a “x”. Nuestro cerebro debe ser capaz de estar pendiente de los cinco simultáneamente.
FUNCIONES UNIFORMES
Se dice que la función \(f: \mathfrak{R} \longrightarrow \mathfrak{R}\) es uniforme si cada \(x \in \mathfrak{R}_{\text{inicial}}\) que tiene imagen en \(\mathfrak{R}_{\text{final}}\), tiene una única imagen.
Por ejemplo, la función “f” tal que \(f(x)=1+x^2\) es uniforme, pues cada número real “x” tiene una única imagen.
Por otro lado, la función “g” tal que \((g(x))^2=1+x^2\) no es uniforme, pues \((g(x))^2=1+x^2 \Longrightarrow g(x)=\pm \sqrt{1+x^2}\); o sea, cada número real “x” tiene dos imágenes posibles.
\[g(7)=\pm \sqrt{1+7^2}=\pm \sqrt{50} \quad ;\quad g(4)=\pm \sqrt{1+(-4)^2}=\pm \sqrt{17}\]
Si la función “f” es uniforme, las paralelas al eje de ordenadas no cortan o cortan en un único punto a la gráfica de “f”.
Si “f” no es uniforme, hay rectas paralelas al eje de ordenadas que cortan a dicha curva en dos o más puntos.
LAS RECTAS
La gráfica de la \(f: \mathfrak{R} \longrightarrow \mathfrak{R}\) es una curva plana
Siendo constantes “a” y “b”, la gráfica de toda función \(f: \mathfrak{R} \longrightarrow \mathfrak{R}\) tal que \(f(x) = ax + b\) es una recta no perpendicular al eje de abscisas.
Como \(f(0) = a \cdot 0 + b = b\), la recta corta al eje de ordenadas en el punto “b” (es decir, \(\color{blue}{\text{la ordenada de la recta en el origen}}\)).
La recta corta al eje de abscisas en el punto “x” tal que \(f(x) = 0\):
\[ f(x) = ax + b = 0 \Longrightarrow x = \frac{-b}{a} \]
Al número \(\displaystyle\frac{-b}{a}\) se le llama la abscisa de la recta en el origen.
LAS RECTAS
Para dibujar una recta basta posicionar dos puntos de ella
Por ejemplo, para dibujar la recta correspondiente a la \(f: \mathfrak{R} \longrightarrow \mathfrak{R}\) tal que \(f(x)=2+3x\),los novatos posicionan dos puntos cualesquiera de ella: \[ \left\{ \begin{array}{ll} f(1)= 2+3.(1)=5 \Longrightarrow \text{la recta pasa por} \quad P=(1,5) \\ f(2)= 2+3.(2)=8 \Longrightarrow \text{la recta pasa por} \quad Q=(2,8) \\ \end{array} \right. \]
Los que no se chupan el dedo dibujan la recta calculando sus intersecciones con los ejes, pues asi tardan menos: \[ \left\{ \begin{array}{ll} f(0)= 2+3.(0)=2 \Longrightarrow \text{la recta pasa por} \quad (0,2) \\ f(x)= 2+3.(x)=0 \Longrightarrow x=-2/3 \Longrightarrow \text{la recta pasa por} \quad (-2/3,0) \\ \end{array} \right. \]
Si \(f(x) = a \cdot x + b\), se dice que “f” es una función lineal
Siendo \(P = (x, f(x))\) un punto genérico de la recta \(f(x) = ax + b\), se cumple:
\[ \Large f(x) - b = a \cdot x \]
Es decir, la diferencia \(f(x) - b\) entre la ordenada “\(f(x)\)” del punto “P” y la ordenada “b” de la recta en el origen es proporcional a la abscisa “x” de “P”.
La constante de proporcionalidad “a” coincide con la tangente del ángulo \(\theta\) que forma la recta con la dirección positiva del eje de abscisas:
\[ f(x) - b = ax \Longrightarrow \frac{f(x) - b}{x} = a = \tan(\theta) \]
De “\(a\)” se dice que es la pendiente de la recta .
Observa: si \(a=0 \Longrightarrow \theta \Longrightarrow\) la recta es paralela al eje de abcisas.
RECTAS
Sea \(f(x) = ax + b\). A la constante “a” se le llama la pendiente de la recta, y representa la tangente del ángulo \(\theta\) que la recta forma con la dirección positiva del eje de abscisas.
Ejemplo: Si \(f(x) = 5x + 2\), entonces \(f(0) = 2\), que es la ordenada al origen. Como la pendiente es \(5\), la recta forma un ángulo \(\theta\) con la dirección positiva del eje \(x\) tal que:\(\tan(\theta) = 5 \quad \Rightarrow \quad \theta = \arctan(5) \approx 78.69^\circ\)
RECTAS
Sea \(f(x) = ax + b\). A la constante “a” se le llama la pendiente de la recta, y representa la tangente del ángulo \(\theta\) que la recta forma con la dirección positiva del eje de abscisas.
Ejemplo: Si \(f(x) = -3x + 4\), es \(f(0) = 4\). Como la pendiente es \(-3\), la recta forma un ángulo \(\theta\) con la dirección positiva del eje abcisas un angulo \(\tan(\theta)\) cuya tangente es “\(-3\)”; o sea; \(\theta=arctan(-3)=108.43^{\circ}\)
RECTAS
Sea \(f(x) = ax + b\). A la constante “a” se le llama la pendiente de la recta, y representa la tangente del ángulo \(\theta\) que la recta forma con la dirección positiva del eje de abscisas.
Ejemplo: Si \(f(x) = -3x + 4\), es \(f(0) = 4\). Como la pendiente es \(-3\), la recta forma un ángulo \(\theta\) con la dirección positiva del eje abcisas un angulo \(\tan(\theta)\) cuya tangente es “\(-3\)”; o sea; \(\theta=arctan(-3)=108.43^{\circ}\)
RECTAS
Sea \(f(x) = ax + b\). A la constante “a” se le llama la pendiente de la recta, y representa la tangente del ángulo \(\theta\) que la recta forma con la dirección positiva del eje de abscisas.
Ejemplo: Si \(f(x) = 3\), es \(f(0) = 3\). Como la pendiente es \(0\), la recta paralela al eje de la abcisas.
RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS CONOCIDOS
Sea \(f: \mathfrak{R} \longrightarrow \mathfrak{R}\) la función cuya grafica es la recta que pasa por los puntos \((M=(c_0, d_0))\) y \((N=(c_1, d_1))\) y \(P=(x,f(x))\) es un punto genérico de la recta.
De la figura, por la semejanza de los triangulos se tiene que MTN y MSP, resulta:
\[ \frac{MS}{MT} = \frac{PS}{NT} \] o sea:
\[ \frac{x_0 - c_0}{c_1 - c_0} = \frac{f(x) - d_0}{d_1 - d_0} \]
RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS CONOCIDOS (Ejemplo 2. continuación)
Si \((x, f(x))\) son las coordenadas de un punto genérico, de la recta pasa por los puntos \((3, 1)\) y \((7, 5)\) de la figura, por semejanza de triangulos, resulta que:
\[ \frac{x - 3}{7 - 3} = \frac{f(x) - 1}{5 - 1} \]
De donde se obtine:
\[f(x) = x - 2\]
RECTA (Ejemplo 3. ¡Como para examen!)
Un vendedor de ilusiones sabe que si un día el precio es de \(2\) euros/kilo, vende 12 kilos; y si el precio es de \(5\) euros/kilo, vende 8 kilos. Haga una estimación lineal de la cantidad vendida si el precio hoy es de \(3\) euros/kilo. Si un día quiere vender 9 kilos, ¿qué precio a de fijar?
Como de Precio \(\overset{f}\longrightarrow\) cantidad sólo sabemos que \(f(2)=12\) y \(f(5)=8\), entonces es imposible conocer \(f(3)=?\). Estimaciones lineales \(\Longrightarrow\) consideremos que Precio \(\overset{f}\longrightarrow\) cantidad es la recta que pasa por los puntos \((2, 12)\) y \((5, 8)\), por lo que: \[ \left. \begin{array}{l} \displaystyle \frac{x - (2)}{5 - (2)} = \frac{f(x) - (12)}{8 - (12)} \\ \end{array} \right. \Longrightarrow f(x) = -\frac{4}{3}x + \frac{44}{3}\Longrightarrow f(\color{red}{3}) = -\frac{4}{3}(\color{red}{3}) + \frac{44}{3} = \color{red}{\frac{32}{3}} \, \color{red}{\text{kilos}} \]
RECTA (Ejemplo 3 continuación. ¡Como para examen!)
Un vendedor de ilusiones sabe que si un día el precio es de \(2\) euros/kilo, vende 12 kilos; y si el precio es de \(5\) euros/kilo, vende 8 kilos. Haga una estimación lineal de la cantidad vendida si el precio hoy es de \(3\) euros/kilo. Si un día quiere vender 9 kilos, ¿qué precio a de fijar?
\[ \left. f(x)=9 \right. \Longrightarrow f(\color{red}{x}) = -\frac{4}{3}(\color{red}{x}) + \frac{44}{3} =9 \Longrightarrow x=\color{red}{\frac{17}{4}} \, \color{red}{\text{euros/kilos}} \]
Dominio de definición de una función
El dominio de definición de la \(f:\mathfrak{R} \longrightarrow \mathfrak{R}\) se denota Dom(f), y es el subconjunto de \(\mathfrak{R}_{inicial}\) formado por los puntos a los que \(f\) les asigna imagen en \(\mathfrak{R}_{final}\):
\[ Dom(f)= \{ x\in \mathfrak{R} \;| \;f(x)\in \mathfrak{R}\} \]
Si \(f(a) \in \mathfrak{R}\) se dice que \(f\) esta definida en el punto \("a"\), y si \(f(a) \notin \mathfrak{R}\) se dice que \("f"\) no está definida en “a”.
Una función real de variable real \(f:A \subset \mathfrak{R} \rightarrow \mathfrak{R}\) es una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto \(A\), un único elemento de un segundo conjunto \(\mathfrak{R}\). Las funciones son relaciones entre los elementos de dos conjuntos.
Se llama dominio de la función \(f\) al conjunto de valores para los cuales la misma está definida
\[Dom\ (f) = A = \{x\in \mathbb R| \exists! y \in \mathbb R: f(x)=y\}\] El conjunto de todos los resultados posibles de una función dada se denomina rango, imagen o codominio de esa función.
\[Im\ (f) = \{y\in \mathbb R| \exists x \in \mathbb R: f(x)=y\}\]
Gráficos de funciones algebraicas
Funciones potenciales
Funciones exponenciales
Funciones logarítmicas
Funciones trigonométricas
Funciones trigonométricas
Funciones trigonométricas
Funciones trigonométricas
